A física do loop

Looping é uma manobra bastante comum em esportes radicais e no entretenimento como no skate, em espetáculos de circo e até em videogames, como mostrado na Figura 1. Neste post, nós vamos discutir quais a condições necessárias para que o loop seja executado com segurança.

A Física do loop

A Figura 2 mostra um sistema idealizado para estudarmos o looping. Para simplificar, assumimos que o loop é um círculo de raio $R$. Um corpo em repouso é liberado do ponto 1, localizado a uma altura H em relação ao solo, e desce até o nível do solo onde atinge uma velocidade $v_0$ momentos antes de entrar no loop. Nosso objetivo e determina a velocidade $v_0$ mínima para que possamos executar o looping sem cair.

No ponto mais alto do loop, o corpo tem uma velocidade $v_1$, e sai do loop com uma velocidade $v_2$. Assumimos também que o corpo não tem nenhum tipo de propulsão, e toda a velocidade de entrada no loop foi causada apenas pela elevação inicial do ponto 1.

Vamos nos concentrar inicialmente entre os pontos 2 e 3. No ponto 2, o corpo possui apenas energia cinética, enquanto no ponto 3 possui energia cinética e energia potencial gravitacional. Assumindo que a energia mecânica total é conservada entre os pontos 2 e 3 ($E_{M,2}=E_{M,3}$), temos:

$$E_{M,2} = \frac{m v_0^2}{2}$$

$$E_{M,3} = \frac{m v_1^2}{2}+m g(2 R)$$

$$v_0^2 = v_1^2+ 4 R g.$$

Nas expressões acima, $m$ é a massa do corpo e $g$ é aceleração da gravidade. A última equação mostra que $v_0$ depende de $v_1$ e que, sozinha, esta equação não permite dizer nadinha sobre qual o valor de $v_0$ que permita executar o looping.

A condição necessária para que o o corpo execute o looping é NÃO PERDER CONTATO COM PISTA ! Enquanto houver contato, o corpo faz uma força sobre a pista que, pela 3a. lei de Newton, aplica uma força mesmo módulo mas na direção contrária no corpo. Esta forçado reação da pista sobre o corpo é a força normal $\vec{N}$. Desprezando-se qualquer tipo de atrito, a outra força atuando sobre o corpo é o seu peso $\vec{P}$. O diagrama de forças que atua no corpo no ponto mais alto do loop é mostrado na Figura 3.

Devido ao movimento encurvado, o corpo está sujeito a uma força centrípeta resultante igual a soma vetorial de todas as forças atuando no corpo, ou seja, $\vec{F}_{cp}=\vec{N}+\vec{P}$. Como todos os vetores são colineares no ponto mais alto, tem-se portanto $F_{cp} = N+P$. A condição para que haja contato do corpo com a pista é que o módulo da força normal seja diferente de zero, ou seja, $N = F_{cp}-P>0$. Como $F_{cp} = m v_1^2/R$, a condição para que o corpo não perca contato com o loop é:

$$v_1^2 > R g.$$

Desta forma, a velocidade mínima de entrada para realizar o looping sem cair é:

$$v_0^2 > 5 R g.$$

Para concluir falta apenas determinar qual a altura mínima que devemos soltar o corpo na rampa para que ele complete loop. Para isso, assumimos mais uma vez que a energia mecânica total é conservada entre os pontos 1 e 2 $E_{M,1}=E_{M,2}$:

$$E_{M,1} = m g H$$

$$E_{M,2} = \frac{m v_0^2}{2}$$

$$v_0^2 = 2 g H.$$

Finalmente, a altura $H$ que o carro deve ser solto para completar o loop é:

$$H > 2,5 R.$$

E se houver atrito?

Na descrição acima, assumimos que a energia mecânica total se conserva em todo o trajeto do ponto 1 até o ponto 3. Contudo, vimos no post anterior que se houver qualquer tipo de atrito, um corpo solto de uma altura $H$ na rampa, ele vai chegar no ponto 2 com uma velocidade tal que $v_0^2 < 2 g H$. Portanto, para executar o loop basta soltar o corpo de uma altura um pouco maior para compensar a dissipação da energia mecânica pelo atrito.

Uma forma simples de quantificar este efeito é o seguinte. Imagine que a entre os pontos 1 e 2 hove uma perda e 5% de energia, e mais outros 5% entre os pontos 2 e 3. Portanto, temos que $E_{M,2} = 0,95 E_{M,1}$, e $E_{M,3} = 0,95 E_{M,2}$. Mesmo com atrito na pista, a condição para que o corpo não perca contato com a pista continua sendo $v_1^2 > R g$. Deixo como exercícios para os leitores, demonstrar que a nova altura para soltar o corpo e realizar o loop deve ser tal que $H > (2,5 R)/(0,95)^2$, ou mais precisamente $H > 2,77 R$. Ou seja, precisamos aumentar a altura em cerca de 10% para que o corpo consiga realizar o loop.

Finalmente o experimento

A Figura 4 mostra o experimento realizado para testar nossa teoria. O loop utilizado não é perfeitamente circular, e possui cerca de 24 cm de diâmetro. Portanto, a altura mínima para o carrinho conseguir fazer o looping sem cair é de aproximadamente 30 cm. Se assumirmos uma dissipação de energia mecânica de 5% entre os pontos 1 e 2, e outros 5% entre 2 e 3, a altura mínima será de 33 cm. Em termos de velocidade, a condição mínima para que os carrinhos realizassem o loop é que $v_0 > \sqrt{5 R g}$. Assumindo $g = 9,81~m/s^2$ e $R = 0,12~m$, a velocidade mínima para completar o loop é de aproximadamente $2,43~m/s$ ($8,7~km/h$).

Neste experimento, utilizei 5 carrinhos Hotwheels diferentes, sendo que dois deles já estavam velhinhos e apresentavam desbalanceamento nos pneus e não conseguiam andar em linha reta muito tempo (carrinhos 4 e 5). Os carrinhos desbalanceados tendem a encostar nas bordas da pista, e atendem bem ao nosso intuito de testar o efeito do atrito.

A tabela 1 mostra as velocidades medidas na entrada do loop para todos os carrinhos soltos em diferentes alturas: 30 cm (prevista pela teoria como a altura mínima necessária para o carrinho percorrer o loop sem cair), 33 cm e 35 cm (para testar a hipótese de dissipação de energia mecânica por atrito). As velocidades foram medidas utilizando o sensor de velocidade discutido no post Conservação da energia mecânica com Hotwheels e Arduino.

Quando soltos de uma altura ligeiramente acima de 30 cm, somente o carrinho 1 conseguiu completar o loop sem cair. A velocidade $v_0$ medida for de 2,52 m/s, um pouco acima do limiar teórico de 2,43 m/s. Nenhum dos outro carrinhos conseguiu percorrer o loop quando soltos de 30 cm. Neste grupo, os carrinhnos 2,3 e 4 apresentaram a velocidade de entrada no loop abaixo da velocidade limite e, portanto, não tinham energia suficiente para percorrer o loop sem cair. Contudo, o carrinho 5, apesar de ter caído, apresentou velocidade de entrada de 2,614 m/s, acima da velocidade mínima. É óbvio que este carrinho dissipa mais energia na subida do loop que os outros, pois ele é dos carrinhos que claramente apresentava um desbalançeamento das rodas.

Quando os carrinhos foram soltos de uma altura de 33 cm (10% acima da altura mínima prevista pela teoria), todos completaram o loop, sendo que alguns deles visivelmente completaram o loop com velocidade de entrada ligeiramente acima da velocidade limiar. Por exemplo, o carrinho 2 apresentou velocidade de entrada de 2,45 m/s, apenas 0,02 m/s acima da velocidade mínima. O mesmo foi observado nos carrinhos 3 e 4. Finalmente, quando soltos de uma altura de 35 cm, todos os carrinhos percorreram o loop confortavelmente sem cair, todos com velocidades de entrada acima da velocidade mínima.

Em conclusão, nosso experimento demonstrou que as condições necessárias para percorrer o loop sem cair, ou seja, uma velocidade de entrada $v_0>\sqrt{5 R g}$ garante que o carrinho passe pelo ponto mais alto do loop sem perder contato com a pista. foram comprovadas experimentalmente, apesar da pequena dissipação de energia mecânica por atrito. Para garantir esta velocidade de entrada, basta soltar o carrinho de uma altura $H> 2,5 R$. O nosso melhor carrinho (o carrinho 1) satisfez perfeitamente as previsões teóricas, enquanto os ouros carrinhos precisaram de uma elevação inicial até 10% maior para ganhar velocidade suficiente para percorrer o loop sem cair.

Preciso fazer três observações importantes: (i) o loop é flexível e pode balançar durante a passagem, e fazer com que o carrinho caia da pista. O ideal é colocar um suporte para minimizar o balanço da pista e usar fita adesiva para fixar o loop na mesa. Mesmo assim ele vai balançar. (ii) O sensor de velocidade precisa ser fixado na pista sem balançar. O movimento do sensor durante a passagem do carrinho pode afetar as medidas de velocidade. (iii) As medidas da altura foram feitas com fita métrica simples, e portanto sujeitas a pequenas variações tanto na medida da altura quanto no ponto em que o carrinho foi solto. Estas duas fontes de imprecisão fazem com que haja pequenas variações de velocidade em cada lançamento até mesmo quando usamos o mesmo carrinho. O ideal é fazer uma média de 3 ou 4 lançamentos para cada carrinho e fazer uma média aritmética simples. Mas não se preocupem, flutuações existem até mesmo em laboratórios de alta tecnologia, mas o importante é que elas não sejam grandes o suficiente para apontar um resultado que seja incompatível com o modelo utilizado para explicar o experimento.

Assista aqui a demonstração em vídeo deste experimento: